Construcții Geometrice - Aspecte Teoretice.

 

 Un tip aparte de probleme de geometrie îl constituie problemele de construcție. Într-o astfel de problemă se consideră date o familie D de elemente geometrice (puncte, drepte, lungimi, cercuri, unghiuri sau arce etc.) și se cer determinate anumite necunoscute alcătuind o altă familie X astfel încât pentru elementele din  să fie satisfăcute anumite proprietăți P. Problema  necesită descrierea elementelor lui X, dar acesta este doar un aspect al problemei și nu cel mai important; se impune dovedirea proprietăților P precum și precizarea situațiilor în care soluția există și în care nu, dacă această soluție este sau nu unică etc. Pentru "desenarea" elementelor din X sunt permise anumite instrumente de construcție, alcătuind o familie I precizată de enunțul problemei. Un astfel de instrument trebuie privit nu ca o entitate fizică ci ca un dispozitiv abstract permițând anumite construcții bine precizate. Iată o enumerare a principalelor instrumente admise în I.

 

 Rigla. Permite trasarea unei drepte (AB) ce trece prin două puncte: A, B.

 

 Compasul. Permite trasarea unor cercuri de centru O și rază R date.

 Lista instrumentelor nu este nici pe departe epuizată; se mai consideră ca instrumente colțarul (echer cu un unghi ascuțit), rigla mărginită, compasul cu deschidere limitată etc. Atunci când enunțul nu face precizări contrare se subânțelege că istrumentele permise sunt rigla și compasul.  

 

 În general în cadrul unei probleme de construcție se evidențiază patru etape al căror conținut îl vom descrie succesiv.

 

 1.  Analiza. Începe de obicei prin fraza "presupunem problema rezolvată". În cadrul acestei etape, pe o figură deobicei aproximativă, considerăm simultan datele (elementele lui D) și necunoscutele (aparținând lui X). Se adaugă figurii elemente noi (construcții ajutătoare) caracterizate prin proprietăți ale lor referitoare la elementele din , alcătuind o mulțime A. Se pun apoi în evidență proprietăți definitorii ale elementelor din A ce folosesc doar elemente din D și proprietăți pentru elemente din X formulate cu ajutorul elementelor din D și A.

 

2. Construcția sau sinteza exprimă succesiuni de utilizări ale instrumentelor permise pentru a trasa elementele din A și (apoi) din X. Această etapă constitue în fond " o rețetă de fabricare a elementelor din X (cu tehnologii I și materie primă D)". Cred că tendința manifestată adeseori de a da doar această etapă în probleme de construcții încurajează dogmatismul, geometria contemporană nu rezidă în rețete.

 

3. Demonstrația sau justificarea conține argumentarea faptului că elementele construite satisfac proprietățile enunțate; prin intermediul acestei etape problemele de construcție își justifică încadrarea în probleme de geometrie și nu de desen liniar.

 

4. Discuția pune în evidență condiții asupra datelor problemei pentru ca sa existe soluții și o estimare a numărului acestora. În cadrul acestei etape sunt justificate și generalizări sau analogii ale problemei. În general discuția este conturată prin analiza critică a ficărei operații descrise în etapa de construcție.

 Schema de succesiune a celor patru etape: analiza-sinteza-demonstrația-discuția, nu trebuie înțeleasă rigid, elemente de demonstrație sau discuție apărea și în analiză, unele elemente ajutătoare pot apărea abia în demonstrație sau discuție, anumite situații neprevăzute în etapa sintezei pot precizate în cadrul discuției etc.

 Următoarele exerciții rezolvate sunt destinate n primul rqnd exemplificării necesității etapelor descrise și în doilea rând reînprospătării soluțiilor unor probleme des reasamblate în soluționarea altora, mai dificile.

 În primele probleme, deosebit de simple, nu este necesară apariția tuturor celor patru etape.

 

 Urmează câteva exemple de construcții concrete. Menționăm că pentru o construcție dată pot exista mai multe soluții potrivit adagiului matematic: orice problemă mai complicată are cel puțin două soluții. 

 

1.Metoda de a presupune problema rezolvată.

 

 Această metodă constă, așa cum arată numele, în a face o figură (aproximativă), ca și cum problema ar fi rezolvată, apoi pe această figură se caută acele relații și proprietăți care pot servi la construcția cerută de problemă. După aceea se face construcția exactă cu rigla și compasul.

 Urmează câteva exemple care vor ilustra această metodă. 

 

 Exemplul 1. Construcția mediatoarei unui segment [AB]. 

 

  /> This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

 

 Construcția. Fie segmentul [AB] (Figura 1) . Trasăm cu ajutorul compasului două arce de cerc cu centrul în A și B și cu aceeși rază (mai mare decât jumătatea segmentului). Cele două arce se vor intersecta în P și Q. Dreapta PQ este mediatoarea segmentului [AB]. 

 

 Justificare. Punctele P și Q sunt egal depărtate de A și B deci aparțin mediatoarei segmentului și două puncte determină o dreaptă.

 

 Observație. Această construcție folosește la aflarea mijlocului unui segment, care este dat de intersecția mediatoarei cu segmentul (punctul M pe figură).

 

 Exemplul 2. Construcția bisectoarei interioare a unui unghi.

 

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

 

 Construcția. Fie unghiu <XOY (Figura 2). Cu centrul în O trasăm un arc de cerc ce intersectează [OX și [OY în P și Q. Cu centrul în P și Q și cu aceeași rază (dar nu neapărat cea anterioeră), se descriu două rce de cerc în interiorul unghiului ce se intersectează în M. OM este bisectoarea cerută.

 

  Demonstrație. Triunghiurile MOP și MOQ sunt congruente (cazul LLL) și prin urmare unghiul <MOP este congruent cu unghiul <MOQ , deci [OM este bisectoarea unghiului <XOY.

 Exemplul 3. Construcția perpendicularei prin A pe o dreaptă d.


This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

 

 Construcția (Figura 3). Un cerc cu centrul în A și de rază [AB] cu B aparținând dreptei d mai taie d în B'. Trasăm mediatoare m a segmentului [BB'] (Exemplul 1).

 

  Justificare. Din construcție A aparține m și mediatoarea este perpendiculară pe BB'.

 

  Discuție. Dacă cercul construit este tangent dreptei d, atunci AB este perpendiculara căutată.

  

 Exemplul 4. Construcția unui unghi ce are o latură Uz și este congruent cu unghiul <XOY.

 

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

 

 Construcția (Figura 4). Un cerc cu centrul în O taie [OX, [OY în A, B; un cerc O' egal cu O, de centru U taie Uz în C. Cercul de centru A, de rază AB taie cercul O' în D. Unghiul <DUZ este unghiul căutat.

 

  Demonstrație. Triunghiurile AOB și CUD sunt congruente (LLL).

 

  Discuție. Cercurile cu centrele în U și C se intersectează și în D'. Atunci triungiurile AOD și CUD' sunt congruente (LLL).

 

  Exemplul 5. Fiind date segmentele de lungimi a, b, să se construiască un segment de lungime Y încât Y2  = a · b (Y se numește medie geometrică a segmentelor a și b).

 

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

 

  Analiza. Egalități de forma celei din enunț apar în teorema catetei sau în teoreme înălțimii.  

 

 Construcția (Figura 5).Pe o dreaptă de părți diferite ale lui A se iau B, C astfel încât AB = a, AC = c. Cercul O de diametru  BC taie în E perpendiculara în A pe BC. Afirmăm că are loc AE = Y. Figura 5 mai prezintă o variantă de construcție. Presupunând b < a considerăm D aparținând lui [AB încât AD = b, trasăm cercul O' de diametru AB ce este tăiat în F de perpendiculara în D pe AB. Afirmăm că are loc și AF = Y (Figura 5).

 

 Exemplul 6. Să se construiască un triunghi ABC când se cunosc picioarele A1, B1, C1 ale înălțimilor sale (din A, B respectiv C). 

 

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com
This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

 

 Analiză. Presupunem problema rezolvată: fie ABC triunghiul căutat și  perpendiculară în A1 pe A1H va conține bisectoarele exterioare. Vom putea determina A, B, C drept centre ale cercurilor exînscrise triunghiului A1B1C1. A1B1C1  triunghiul său ortic (Figura 6). DeoareceAA1B = ∠AB1B = 90ş punctele A, A1, B1, B sunt pe același cerc (de diametru AB). Mai presupunem triunghiul ABC este ascuțitunghic și acum putem constata AB1A1B este un patrulater convex inscriptibil deci ∠AA1B1 = ∠ABB1 = 90º - ∠A. Analog constatăm AC1A1C este patrulater convex inscriptibil și ∠AA1C1 = ∠ACC1 = 90º - ∠A. Prin urmare A1H este bisectoare interioară pentru ∠B1A1C1. Dreapta BC,

 Examinăm în continuare și ipoteza că triunghiul căutat ar fi obtuzunghic, ∠BAC > 90ş (Figura 6a). Vom constata acum analog că  A1A este bisectoarea interioară pentru ∠B1A1C1 dar B1B și C1C sunt bisetoare exterioare pentru ∠A1B1C1 respactiv ∠A1C1B1. Prin urmare A este centrul cercului înscris triunghiului A1B1C1 iar B, C sunt centre de cercuri exînscrise.

  Construcția. Punem în evidență centrul H al cercului în triunghiul  A1B1C1 și centrele Ha, Hb, Hc ale cercurilor exînscrise.

  Discuția. Problema are patru soluții HaHbHc, HHcHb , HcHHa , HbHaH pentru triunghiul ABC în toate cazurile când A1, B1, C1 nu sunt coliniare, dacă A1, B1, C1 sunt coliniare problema nu admite soluție.  

 

 Observații:

  • C1B1 se numește antiparalela lui BC deoarece ∠AC1B1 = ∠BCA respectv ∠AB1C1 = ∠ABC. Aceste egalități rezultă imediat din faptul că patrulaterul C1BCB1 este evident inscriptibil. La fel și celelalte laruri ale triunghiului  A1B1C1 sunt antiparalele cu laturile triunghilui ABC corespunzătoare lor.

  • Triungiul A1B1C1 se numește triunghi podar care are o serie de proprietăți.

  • Exisă probleme care solicită construcția unor figuri geometrice numai cu Rigla sau numai cu Compasul.

2. Metoda intersecției locurilor geometrice.

 

 Multe probleme de construcție se reduc, în ultimă analiză, la găsirea unui punct sau a mai multor puncte. Un punct este determinat prin intersecția a duă linii, iar fiecare din aceste linii poate constitui o condiție. De aici se poate deduce că, dacă nu ținem seama de una din condițiile care determină un punct, atunci punctele care îndeplinesc cealaltă condiție au aceeași proprietate, deci ele formează un loc geometric, iar punctul căutat se află pe acest loc geometric; dacă nu ținem seama de cealaltă condiție, atunci toate punctele care îndeplinesc prima condiție au aceeași propritate, deci ele formează un alt loc geometric, pe care, de asemenea, se află punctul căutat. Deci punctul căutat se găsește la intersecția acestor două locuri geometrice.

  Uneori se folosește numai un singur loc geometric și cazul acesta se ivește atunci când celălalt loc geometric este o linie dată.

  Din cele expuse rezultă că:

  Metoda locurilor geometrice constă în a alege punctul care trebuie determinat pentru a putea face construcția cerută, apoi pe baza datelor din problemă se stabilesc cele două codiții care pot determina punctul căutat; se află locurile geometrice corespunzătoare ale acestor două condiții când una este considerată și cealaltă, în mod provizoriu, este neglijată, iar la intersecția acestor două locuri geometrice se află punctul căutat.

  Datorită faptului că punctul căutat se află la intersecția a două locuri geometrice, aceasta înseamnă că aceste locuri ori trebuie să le aflăm, ori trebuie să le cunoaștem mai dinainte din studiul geometriei. Exemplu: Construcția unui Triunghi.  

 

3. Metoda simetriei.

 

  Această metodă constă în a lua simetricul unuia din punctele date față de o anumită dreaptă. Cu ajutorul noului punct, problema inițială se înlocuiește prin alta, în general mai simplă; rezolvând această problemă, revenim apoi la datele inițiale, dacă nu am obținut chiar rezolvarea problemei inițiale între timp. Exemplu:  Suma minimă.  

 

 

4. Metoda translației.

 

 Această metodă constă în a determina unul sau mai multe puncte, folosind o translație de mărime, direcție și sens convenabil alese.  Exemplu: Construcția unui Trapez.

 

5. Metoda rotației.

 

 

 Această metodă constă în a determina un punct necunoscut cu ajutorul unei anumite rotații. Exemplu: Construcția unui Triunghi Echilateral.

 

 Observație. 

 

  Un exemplu celebru de construcție geometrică este așa numitul cercul celor nouă puncte sau Cercul lui Euler. În general un triunghi este determinat de trei puncte (vezi cazurile de congruență). De aici a pornit și Leonhard Euler, care și-a propus să construiască un triunghi dacă se cunosc: ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris ale triunghiului.

 

  Bibliogfafie:

 Teorema lui Mohr-Mascheroni.

 În matematică, teorma lui Mohr–Mascheroni afirmă că orice construcție geometrică ce poate fi realizată cu rigla și compasul poate fi efectuată numai cu compasul. Rezultatul original a fost publicat de către Georg Mohr în 1672, dar demonstrația a rămas necunoscută pănă în 1928. Teorema a fost descoperită independent de către Lorenzo Mascheroni în 1797.